ریاضیات مملو از مسائلی است که هنوز بعد از گذشت سالها بیپاسخ ماندهاند؛ اما بعضی از این مسائل ظاهر بسیار سادهای دارند و برای همهی افراد قابل درک هستند.
در ریاضیات به مسائلی که تاکنون اثبات یا رد نشدهاند، «مسئلههای باز» گفته میشود. اغلب این مسائل در سطوح بالای ریاضی مطرح میشوند و دارای ظاهری مشکل هستند؛ مانند مسائل هزاره که حل هرکدام از آنها یک میلیون دلار به جیب شما سرازیر میکند؛ اما شاید اهمیت حل آنها بیشتر از جایزه باشد؛ همانطور که گریگوری پرلمان وقتی در سال ۲۰۰۶ یکی از مسائل هزاره را حل کرد، یک میلیون دلار را نپذیرفت. او گفت «من همهی آنچه را که میخواهم، در اختیار دارم. من میتوانم هستی را کنترل کنم؛ پس به من بگویید چرا باید دنبال یک میلیون دلار باشم؟».
یکی دیگر از همین مسائل که به فرضیهی ریمان معروف است؛ از مشهورترین و مهمترین مسائل حل نشدهی ریاضی به شمار میرود که نتایجی را در ارتباط با توزیع اعداد اول در بر دارد. عکس بالا، دستخط ریمان را در سال ۱۸۵۹ نشان میدهد؛ زمانی که فرضیهی مهم خود را بیان کرد. اما فارغ از تمام موارد یادشده، مسائلی وجود دارند که با وجود ظاهر ساده و قابل فهم، حلنشده باقی ماندهاند؛ مسائلی که هرکس با دانش دبیرستانی میتواند آنها را درک و روی کاغذ امتحان کند. در این مقاله به هفت نمونه از مسائل اینچنینی خواهیم پرداخت.
۱. حدس کولاتز
یک عدد طبیعی انتخاب کنید؛ اگر زوج بود آن را بر ۲ تقسیم کنید و اگر فرد بود آن را ۳ برابر کنید و با ۱ جمع ببندید؛ برای عدد جدید بهدستآمده همین فرایند را تکرار کنید؛ اگر این کار را ادامه دهید، در نهایت به عدد ۱ خواهید رسید؛ بهعنوان مثال:
۷→۲۲→۱۱→۳۴→۱۷→۵۲→۲۶→۱۳→۴۰→۲۰→۱۰→۵→۱۶→۸→۴→۲→۱
این موضوع در سال ۱۹۳۷ توسط لوتار کولاتز مطرح شد و کماکان بعد از گذشت چندین دهه، حلی برای آن در دسترس نیست. درستی این حدس تا عدد ۲۶۰ توسط کامپیوتر بررسی شده است؛ اما هنوز اثباتی برای آن وجود ندارد.
۲. اعداد اول دوقلو
همانطور که میدانید عدد اول، عددی است که تنها بر ۱ و خودش بخشپذیر باشد. اعداد اولی که با همدیگر ۲ واحد اختلاف دارند، اعداد اول دوقلو نامیده میشوند؛ مانند (۳٬۵) یا (۱۱٬۱۳).
بزرگترین اعداد اول دوقلوی کشفشده که دارای ۳۸۸,۳۴۲ رقم هستند؛ برابرند با:
این اعداد در سپتامبر ۲۰۱۶ کشف شدند. تعداد جفتهای اعداد دوقلو تا عدد ۱۰۱۸ برابر است با ۸۰۸۶۷۵۸۸۸۵۷۷۴۳۶. آیا تعداد اعداد اول دوقلو نامتناهی است؟ سؤالی که تاکنون بیپاسخ مانده است. اعداد اول سهقلو به سه عدد فرد متوالی گفته میشود که هر سهی آنها اول باشند؛ تنها اعداد اول سهقلو (۳٬۵٬۷) هستند، چرا؟
۳. حدس گلدباخ
یکی از معروفترین و قدیمیترین مسائل حلنشده در ریاضیات، حدس گلدباخ است که با وجود صورت بسیار سادهای که دارد، حدود ۲۷۰ سال ذهن ریاضیدانها را به خود مشغول کرده است. آرزوی هر ریاضیدانی این است که آن را حل کند و چهبسا برای رسیدن به حل آن همچون فیلم «اتاق فِرما» دست به هر کاری بزنند! حدس گلدباخ بیان میکند که «هر عدد صحیح زوج بزرگتر از ۲ را میتوان بهصورت مجموع دو عدد اول نوشت.» بهعنوان مثال:
۴=۲+۲
۶=۳+۳
۸=۵+۳
این حدس در سال ۱۷۴۲ میلادی توسط کریستین گلدباخ در نامهای به لئونارد اویلر مطرح شد. تلاشهای بسیاری در اثبات این حدس انجام شده است؛ تلاشهایی که منجر به کشف قضیههای دیگر شدهاند؛ اما این حدس کماکان حلنشده باقی مانده است. در سال ۱۹۹۲ مؤسسهی انتشاراتی مشهور Faber & Faber کتاب داستان پرفروشی با عنوان «عمو پتروس و حدس گلدباخ» منتشر کرد که در آن، تاریخ ریاضیات در قالبی جذاب و داستانی شرح داده شده است. بعد از چند سال، انتشارات مزبور به منظور تبلیغ برای فروش بیشتر، جایزهای یک میلیون دلاری برای کسی که از تاریخ ۲۰ مارس ۲۰۰۰ ،حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گلدباخ شود، تعیین کرد؛ اما تا اتمام تاریخ مقرر و پس از آن، تاکنون هنوز هیچ ریاضیدانی از پس اثبات این حدس بهظاهر آسان، برنیامده است. در سال ۲۰۱۴ توسط کامپیوتر نشان داده شد که این حدس برای اعداد زوج کوچکتر از ۱۰۱۸×۴ درست است؛ اما هر چقدر این بررسی جلو برود، کافی نخواهد بود و در انتها تنها چارهی ما تلاش برای اثبات آن است.
۴. اعداد کامل
دکارت گفت «اعداد کامل همچون انسانهای کامل، کمیاب هستند.» عدد کامل عددی است که برابر جمع مقسومعلیههای به غیر خودش باشد؛ بهعنوان مثال مقسومعلیههای ۶ به غیر خودش؛ ۱،۲،۳ هستند و داریم: ۶=۳+۲+۱. چند عدد کامل ابتدایی عبارتند از: ۲۸؛ ۴۹۶؛ ۸۱۲۸؛ ۳۳۵۵۰۳۳۶.
در ژانویهی سال ۲۰۱۶، چهل و نهمین عدد کامل کشف شد؛ این عدد دارای ۴۴,۶۷۷,۲۳۵ رقم است و مقدار آن برابر است با:
از ویژگیهای جالب اعداد کامل این است که آنها را میتوان بهصورت جمع اعداد طبیعی متوالی یا جمع مکعب اعداد فرد متوالی نوشت. همچنین هر عدد کامل زوج، حتما به ۶ یا ۸ ختم میشود.
همچنان این سؤالها که «آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟» و «آیا تعداد اعداد کامل نامتناهی است؟» بیپاسخ ماندهاند.
به نظر شما آیا عددی وجود دارد که مساوی با دو برابر جمع مقسومعلیههای به غیر از خودش باشد؟ نترسید! این سؤال حل شده است و پاسخش را به عهدهی خودتان میگذاریم. به این عدد، عدد کامل از مرتبهی سه گفته میشود.
۵. حدس لژاندر
این حدس بیان میکند «بین مجذور هر دو عدد طبیعی متوالی، حداقل یک عدد اول وجود دارد». این مسئله در سال ۱۹۱۲ توسط لژاندر بیان شد و حدود صد سال است که برای آن اثباتی پیدا نشده است. جالب است بدانید حل این حدس اگرچه منجر به حل فرضیه ریمان نمیشود؛ اما قویتر از یکی از نتایج فرضیهی ریمان است.
۶. گنگ بودن π+e و πe
همانطور که میدانید به عددی گنگ گفته میشود که نتوان آن را بهصورت کسری نوشت یا به عبارت سادهتر؛ وقتی بهصورت اعشاری نوشته شود، دارای الگوی مشخصی نباشد. اثبات گنگ بودن عددی مانند رادیکال ۲ راحت است. اما در حالت کلی اثبات گنگ بودن یک عدد، مسئلهی سختی به شمار میرود؛ بهعنوان مثال اثبات گنگ بودن عدد پی در قرن ۱۸ توسط لمبرت و بعد از اثبات گنگ بودن عدد نپر اتفاق افتاد. اما تاکنون اثبات نشده است که π+e و πe گنگ هستند یا خیر.
نکتهی جالب در مورد این موضوع آن است که ما میدانیم حداقل یکی از دو عبارت فوق گنگ است اما کدام یک؟
۷. حدس اردیش-استراوس
حدس اردیش-استراوس در سال ۱۹۴۸ توسط دو ریاضیدان به همین نام ارائه شد؛ این حدس بیان میکند «هر عدد گویا بهصورت ۴ بر روی n را میتوان بهصورت جمع سه کسر به شکل زیر نوشت:»
به عنوان مثال:
درستی این حدس توسط کامپیوتر تا عدد ۱۰۱۷ تائید شده است؛ اما کماکان اثباتی برای آن وجود ندارد.
شاید صورت سادهی بعضی از این مسائل شما را نیز به فکر حل آنها یا طرح سؤال حلنشدهای به نام خودتان انداخته باشد. مطمئنا روزی این مسائل حل خواهند شد، حتی اگر این تلاش همچون قضیهی اخر فرما ۳۵۸ سال طول بکشد. اما در انتها همواره سؤالهای حلنشدهای هستند که ذهن پرسشگر انسان را به چالش بکشند.
